ST CHARLES
LYCEE POLYVALENT
MARSEILLE
 

DM A6

mardi 20 février 2007, par B. ANSALDI

Le premier exercice permet de s’entraîner sur une question très souvent posée au bac : une fonction est solution d’une équation différentielle si et seulement si elle est la somme d’une solution particulière (suggérée par l’énoncé) et de la solution générale de l’équation différentielle homogène associée.

En clair :

f est solution de y’=ay+\phi \Leftrightarrow f=f_0+uu est la solution de y’=ay et f_0 une solution (suggérée par l’énoncé) de l’équation de départ.

Les autres exercices permettent de trouver des solutions à des équations différentielles du second ordre (c’est à dire mettant en cause f’ et f’’)

D.M. N° 6

COMPLEMENTS SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

  1. On considère l’équation différentielle : y’-4y=2x^2+1 \  (E)
    - Recherche d’une solution particulière
    -*Si cette équation admet une fonction polynôme pour solution, quel doit être nécessairement son degré ? (justifier)
    -* Montrer qu’il existe une unique fonction polynôme solution de cette équation (on la notera P)
    - On considère deux fonctions f et g telles que f=g+P.
    -*Démontrer que f est solution de (E) SI ET SEULEMENT SI g est solution de l’équation différentielle : y’-4y=0
    -* Résoudre l’équation différentielle y’-4y=0
    -* En déduire toutes les solutions de (E)
    - Donner \varphi l’unique solution de (E) telle que \varphi(1)=0
  2. Avant de faire ces trois questions, il est prudent de revoir les dérivées des fonctions de la variable x : x\mapsto e^{ax}, x\mapsto \cos(ax+b) et x\mapsto \sin(ax+b)
    On considère l’équation différentielle : y’’-3y’+2y=0 \  (F)
    On parle d’équation différentielle du second ordre puisque y’’ est la dérivée seconde (c’est à dire la dérivée de la dérivée) de la fonction y
    On veut vérifier si cette équation admet des solutions du type exponentielle.
    - Montrer que si f : x\mapsto e^{rx} est solution de (F) alors r est solution d’une équation du second degré qu’on appelle équation associée à (F).
    _Résoudre cette équation.(On peut noter les deux solutions r_1 et r_2)
    - Démontrer que toute fonction du type x\mapsto Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}A et B sont deux réels quelconques, est solution de (F)_
    _On admet qu’il n’y en a pas d’autre.
    - Donner \psi l’unique solution de (F) telle que \psi(0)=1 et \psi’(0)=0
  3. On considère l’équation différentielle : y’’-8y’+16y=0 \  (G)
    - Répondre à la même question qu’à l’exercice précédent.
    - Démontrer que toute fonction du type x\mapsto \left(Ax+B\right)e^{rx} est solution de (G) avec A et B deux réels quelconques et r solution de l’équation associée à (G)_
    On admet qu’il n’y en a pas d’autre.
    - Donner \lambda l’unique solution de (G) telle que \lambda(0)=1 et \lambda’(0)=0
  4. On considère l’équation différentielle : y’’-6y’+13y=0 \  (H)
    - Répondre à la même question qu’à l’exercice précédent.
    - Démontrer que toute fonction du type x\mapsto e^{ax}\left(A\cos(bx)+B\sin(bx)\right) est solution de (H) avec A et B deux réels quelconques et a et b les parties réelle et imaginaire d’une des solutions trouvées à la question 1)_
    On admet qu’il n’y en a pas d’autre.
    - Donner \mu l’unique solution de (H) telle que \mu(0)=1 et \mu’(0)=0
 
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